Princípio da equivalência

Segundo princípio da equivalência, podemos operar livremente em um dos lados de uma igualdade desde que façamos o mesmo do outro lado da igualdade. Para melhorar o entendimento, nomearemos esses lados.


Portanto, o princípio da equivalência afirma que é possível operar-se no primeiro membro livremente desde que a mesma operação seja feita no segundo membro.

A fim de verificar o princípio da equivalência, considere a seguinte igualdade:

5 = 5

Agora, vamos adicionar em ambos os lados o número 7, e observe que a igualdade ainda será verdadeira:

5 =5

5 + 7 = 5 + 7

12 = 12

Vamos agora subtrair 10 em ambos os lados da igualdade, observe novamente que a igualdade ainda será verdadeira:

12 = 12

12 – 10 = 12 – 10

2 = 2

Veja que podemos multiplicar ou dividir e elevar a uma potência ou até mesmo extrair uma raiz, desde que seja feita no primeiro e segundo membro, a igualdade sempre se manterá verdadeira.

Para resolver uma equação, devemos utilizar esse princípio unido ao conhecimento das operações citadas. A fim de facilitarmos o desenvolvimento das equações, vamos omitir a operação feita no primeiro membro, sendo equivalente dizer que estamos passando o número para o outro membro, trocando o sinal pelo oposto.

A ideia para determinar-se a solução de uma equação é sempre isolar a incógnita utilizando-se o princípio da equivalência, veja:

Exemplo 4

Utilizando o princípio da equivalência, determine o conjunto solução da equação 2x – 4 = 8 sabendo que o conjunto universo é dado por: U = ℝ.

2x – 4 = 8

Para resolvermos uma equação polinomial do primeiro grau, devemos deixar a incógnita no primeiro membro isolada. Para isso, tiraremos o número –4 do primeiro membro, somando 4 a ambos os lados, uma vez que – 4 + 4 = 0.

2x – 4 = 8

2x – 4 + 4 = 8 + 4

2x = 12

Veja que realizar esse processo é equivalente a simplesmente passar o número 4 com sinal oposto. Assim, para isolarmos a incógnita x, vamos passar o número 2 para o segundo membro, uma vez que ele está multiplicando o x. (Lembre-se: a operação inversa da multiplicação é a divisão). Seria o mesmo que dividir ambos os lados por 2.


Portanto, o conjunto solução é dado por:

S = {6}

Exemplo 5

Resolva a equação 2x+5 = 128 sabendo que o conjunto universo é dado por U = ℝ.

Para resolver a equação exponencial, vamos, primeiro, utilizar a seguinte propriedade da potenciação:

am + n = am · an

Usaremos também o fato de que 22 = 4 e 25 = 32.

2x+5 = 128

2x · 25 = 128

2x · 32 = 128

Observe que é possível dividir ambos os lados por 32, ou seja, passar o número 32 para o segundo membro dividindo.


Assim temos que:

2x = 4

2x = 22

O único valor de x que satisfaz a igualdade é o número 2, portanto, x = 2 e o conjunto solução é dado por:

S = {2}


As equações estão presentes em diversos campos da ciência.